I- 5- 1 Kombinierte Funktionen- Seite 1 Combined Functions page I-5-1

Als Einstieg werden auf dieser Seite vor allem  komplexe Funktionen  f  zusammengestellt, die aus zwei oder drei trigonometrischen Funktionen (g), (l) und (h)  zusammengesetzt sind. Die allgemeine Form lautet zumeist     F =(  g ( h ( l (z…)  ) ^i .

z.B             f =( cot ( cot ( z^2 ))  ) ^i .

Teilweise werden die Ausgangsfunktionsbilder (ohne Potenzierung mit – i – ) ebenfalls abgebildet. Die Deutung einer zusammengesetzten trigonometrischen Funktion muß zurückstehen. Es ergeben sich neue Funktionsbilder und damit neuer Gestaltungsfreiraum. Betrachten wir zunächst einige Diagramme  realer Zahlen , z =x + b*i  mit  b*i =0  im Vergleich zu den Bildern der komplexen Zahlen; y repräsentiert  hier den Modulus-wert, der im Bild anhand der Konturlinien in der ‚horizontalen Bildmitte‘ erkennbar wird. (1c hat dort Nullstellen während 1d dort positiv bleibt).

Abb.: f = sin(sin(x))
Abb.: f = cos(cos(x))
Abb.: I-5-1-1d
Abb.: I-5-1-1c

Abb.: I- 5- 1- 1a-d   a: sin(sin(x))    b: cos(cos(x))   c: sin(sin(z))  d: cos(cos(z))

costanx-3
Abb.: I- 5- 1- 2       f = cos(tan(x))

 

costanz-1 (3)
Abb.: I- 5- 1- 2a      f = cos(tan(z))   Detail

 

 

coscotz4z2exp5k04i
Abb.: 5- 1- 3            f = (cos(cot((z. ^4 + phi. ^k). / (z. ^2 – phi. ^k)))), ^i , phi=exp(2pi*i/5), k=0:4 .

 

costanz-1z-3exp07k06
Abb.: 5- 1- 4              f = (cos(tan((z^-1 + phi. ^k) / (z ^-3 – phi ^k)))), k=0:6, ^ i , phi=exp(2pi*i/7).

 

costanz1.5z4.5k09exp10
Abb.: 5- 1-  5     f = cos((tan(z^1.5 + phi ^k) / (z ^4.5 – phi^^k))) , phi = exp(2pi*i/10 , k=0:9

 

Bild0011hochi
Abb.: 5- 1-  5b         f = (cos(tan((z ^1.5 + phi ^k) / (z ^4.5 + phi ^k)))) , K=0:9, ^ i , phi=exp(2pi*i/10).

 

coszanz4z8
Abb.: 5- 1- 6         f = cos(tan((z ^ 4 + phi^k) / (z ^8 – phi^k))),   phi = exp(2*pi*i)/9) , k=0:8 .  Ein Viereck

 

bild0010hochi
Abb.: 5- 1-  6a      f  von Abb.: 5 – 5  hoch i .     Ein Viereck mit Kettengliedern

 

bild104hochiz5overz10 (2)
Abb.: 5- 1- 7          f = (cos(tan((z ^ 5 + phi^k) / (z ^10 – phi^k)))),k=0:8,  ^ i , phi = exp(2pi*i/9).   Es lassen sich so beliebige Vielecke konstruieren

 

Sechseckorig-1
Abb. 5- 1- 7a         f = (cos(tan((z ^ 6 + phi ^k) / ( z ^12 – phi ^k)))) ^i  , phi=exp(2pi*i/10) , k=0:9 .

 

costanz2z4-9k8expover9
Abb.: 5- 1-  8          f = cos(tan((z ^ 2 +phi^k) / (z ^4 – phi^k))) , phi =exp(2pi*i/9) , k=0:8 .

 

bild103hochizzoverzzzz (2)
Abb.: 5- 1- 9      Function Abb.: 5 – 8    f ^ i .

 

bild007hochia
Abb.: I- 5- 1- 10          f = (cos(tan((z ^-2 + phi^k) / (z ^-2 – phi^k)))),k=0:4,  ^ i , phi = exp(2pi*i/5).

Während die Konstruktion von n-Ecken rel. schwierig ist, lassen sich cyclische Strukturen auf mehreren Wegen gestalten. Es folgen ausgewählte Bilder dieser Katagorie mit f ^ i als gemeinsames Merkmal. Weiter Beispiele finden sich auf der Seite  -Cyclische Strukturen – .

bild007ahochi-sin (2)
Abb.: I- 5- 1- 11     f = (sin( ……wie Abb.: 6 – 10 .

 

Abb-V-45hochi (2)
Abb.: I- 5- 1- 12 ,      f = ( sin(exp((z + phi^k) / (z – phi^k)))), k=0:4, ^ i , phi=exp(2pi*i/5),         Hinweis : exp = e^ , e = Eulersche Zahl = 2,71.. , pi = Kreiszahl = 3,141 …

 

bild08hochi
Abb.:  I- 5- 1- 13       f = (tan((cos(z ^2 + phi^k) / (z ^-2 – phi^k)))), ^ i , phi=(exp(2pi*i/5) , k=0:4 .

 

bild06hochi
Abb.: I- 5- 1- 14       f = (cos(tan(z ^-2 + phi^k))), ^ i ,phi=exp(2pi*i/5) , k=0:4 .

 

bild05hochi
Ább.: I- 5- 1- 15      f = (cos(tan(z ^-3 + phi^k))), ^ i , phi=exp/2pi*i/5) , k=0:4 .
Abb.: I- 5- 1 -16 _____ f = (cos(tan((z ^-1 +phi^k) ^ (z ^-1 -phi^k)))), ^ i , phi=exp(2*pi*i/5), k=0:4 .
Abb.: I- 5- 1- 17 f = s.oben Vergrößerung
Abb.: I- 5-1- 18 _____ f= (cos(tan((z ^3 +phi^k) ^(z ^-3 +phi^k))), ^ i , phi=exp(2*pi*i)/5, k=0:9 .
Abb.: I- 5- 1-19 _____ f = (cos(tan((z ^3 +phi^k) ^(z ^-3 -phi^k)))), ^ i , phi=exp(2*pi*i/5), k=0:4
Abb.: I- 5- 1-20 _____ f = (cos(tan((z ^-3 +phi^k) ^(z ^-1 -phi^k)))), ^ 1 , phi s.o., k=0:9.