Die folgenden Bilder sind teilweise im Internet(Wipikedia) oder in Lit(1) od. Lit(4) so oder in ähnlicher Form bereits gezeigt worden. Sie werden zur schnellen Verfügbarkeit hier wiederholt.
Abb.: I-1-1 a,b,c f = z ^12*i f = z ^(2 +12*i) f = z ^(2/3 + 9*i)
Kreise Spirale Offene Struktur
Abb.: I-1-2 f = exp( 1/z ) = e^( 1/z ) , 90° gedreht


– Riemann surfaces of f = z ^ z .















Abb.: I- 1- 11 ___ f = log(z) Abb.: I- 1 – 11a ___ f = log(z) ^i
Abb.: I- 1 – 12 ___ f = cos(z) Abb.: I- 1 – 12a ___ f =( cos(z) )^i
Das Potenzieren mit i führt auch in Abb…10 zu einer einheitlichen Farbgebung. Die abrupten Farbübergänge halten wir für die Grenzen der Rieman Flächen (Lit(1) Riemann Surfaces S.311 , siehe auch Wipikedia ‚Logarithmus‘). Am Beispiel der Funktion f = log(cos (z)) zeigt sich, wie die Gesamtfläche durch Zusammenfügen an den Schnittflächen erzeugt bzw. fortgesetzt wird.
Hinweis: Das Integral von tan(x) bzw. tanh ist ln(abs(cos(x) bzw. ..cosh +C x : reale Zahl.


f = log(cos(z)) – 2pi* i f = log(cos(z)) + 2*pi * i


Abb.: I- 3- 15 a/b f = cos(log(z)) f = cos(log(z)) ^i
Nach Umformung erhält man für einige dieser kombinierten Funktion bemerkenswerte Vereinfachungen ; es ergibt sich – mit x reale Zahl- für f = cosh(log(x)) = (x + 1/x) / 2; und f = sinh(log(x) = (x – 1/x) / 2*i . Für sin(log(x)) , resultiert (x^i – x^-i) /2i ; im Falle von cos(log(x)) erhalten wir (x^i + x^-i) / 2 . Wird der Bereich auf komplexe Zahlen erweitert, so stellen wir für die Phasenportraits der Hauptwerte (pricipal value) zwar eine vollständige Übereinstimmung fest, allerdings ergeben die Differenzen z.B. cos(log(z)) – (z^i – z^-1) in Abb.: 16 keine Auslöschung ( 0 ) .

f‘ = ( z + 1/z ) / 2 vgl. Lit(1) S.267;

Das Phasenpotrait beider Funktionen f und f‘ von Abb.15a zeigt keine Abweichungen und wir können die Phasenportraits als identische Bilder bezeichnen . Wird der Quotieng q = f / f‘ gebildet, resultiert ein Portrait mit dem einheitlichen Wert q =1 und legt Identität nahe. Auch für f = tan(log(z)) und f‘ = (z ^i – z ^-i) / (z ^i + z ^-i)* i und analg cot(logz)) beobachten wir identische Portraits ohne Auslöschung der Differenz f – f‘ aber ein Portrait mit dem Wert 1 für den Quotienten q = f / f ‚ .
Abb.: 16 f = cos(log(z)) – (z^i + z^-i)*0.5 Abb.: 16a f = wie Abb.: 16 , senkrecht : imaginär z Anteil