I – 1 Einfache Formeln und Bilder -Simple Formula and Pictures-

Die folgenden Bilder sind teilweise im Internet(Wipikedia) oder in Lit(1) od. Lit(4) so oder in ähnlicher Form bereits  gezeigt worden. Sie werden zur schnellen Verfügbarkeit hier wiederholt.                                                 

Abb.: I-1-1 a,b,c      f = z ^12*i         f = z ^(2 +12*i)         f = z ^(2/3  + 9*i)

                           Kreise                 Spirale                         Offene Strukturexp1overz-e1537773238695.png

Abb.: I-1-2         f = exp( 1/z ) = e^( 1/z ) , 90° gedreht

Abb.: I- 1- 001 f = z ^ z
Abb.. I- 1- 002 f = ? vom Autor Lit(1) freundlicherweise zur Verfügung gestellt – eine Riemann Fortsetzung der Gesamtfläche.
Abb.: I- 1- 003 f = ? vom Autor Lit(1), zur Verfügung gestellt. Riemann Fläche , Fortsetzung, vgl. Bemerkung zu Abb.: I- 1-12/13
bild1-19
Abb.: I- 1- 3 _____ f = (z+phi^k) / (z-phi^k) , k=0:2, phi = exp(2pi*i/3) .
Abb.: I- 1- 4 _____ f = (z + 1) * ( z – 1) = z^2 – 1 s.Lit(1) S.196 ff
Abb.: I- 1- 5 _____ f = (z +1) / (z – 1) , k=0:0 s.Lit(1) S.196 f f
Abb.: I- 1 –6 _____ f = z ^9*i
Abb.: I- 1- 7 _____ f = z , Spezieller Farbkreis der Farben
Abb.: I- 1- 8 _____ f = z hoch i , k=0:0 . Darstellung mit Modulus- und Argument -Konturlinien Lit(1) S.320 .
Abb.: I- 1- 8a ___ f = z hoch i mit Modulus Konturlinien, ‚3D perspektivisch‘
Abb.: I- 1- 9a,b,c,d ___ f = z^i Im Zentrum 3D-Pespektive von Bild 1-10 . Bei r = 1 springt die Funktion von +pi nach -pi . In diesem Farbkreis ist + pi und – pi nicht klar zu unterscheiden.
Abb.: I- 1- 9 ___ z hoch i 2D -Darstellung
f = z ^i Innerhalb der ‚Röhre‘ eine weitere.
Abb.: I- 1- 9e ___ f = z ^i Vergrößerung um ca 1:10 . Die Unterscjiede von Abb.: ..8a und 9 liegt unseres Erachtens darin begründet, dass einmal ein 2*atan/pi -Wert wie in Lit(1) und zum anderen der Winkel (angle(f) wie hier abgebildet verwendet wird.
Abb.: I- 1- 10 _____ f = log(z ^5)
Abb.: I- 1 – 10a _____ f = (log(z ^5) ^i
  • Abb.: I- 1- 11 ___ f = log(z)
  • Abb.: I- 1 – 11a ___ f = log(z) ^i
  • Abb.: I- 1 – 12 ___ f = cos(z)
  • Abb.: I- 1 – 12a ___ f = cos(z) ^i

Das Potenzieren mit i führt auch in Abb…10 zu einer einheitlichen Farbgebung. Die abrupten Farbübergänge halten wir für die Grenzen der Rieman Flächen (Lit(1) Riemann Surfaces S.311 , siehe auch Wipikedia ‚Logarithmus‘). Am Beispiel der Funktion f = log(cos (z)) zeigt sich, wie die Gesamtfläche durch Zusammenfügen an den Schnittflächen erzeugt bzw. fortgesetzt wird.

Hinweis: Das Integral von tan(x) bzw. tanh ist ln(abs(cos(x) bzw. ..cosh +C x : reale Zahl.

Abb.: I- 1- 13 f = log(cos(z)) ^ i
Abb.: I- 1- 14 f = log(cos(z))
  • f = log(cos(z)) – 2pi* i
  • f = log(cos(z)) + 2*pi * i
Abb.: I- 1- 14a f = log(cos(z)) – 2pi* i
Abb.: I- 1- 14b f = log(cos(z)) + 2*pi * i
  • Abb.: I- 3- 15 a/b f = cos(log(z))
  • f = cos(log(z)) ^i

Nach Umformung erhält man für einige dieser kombinierten Funktion bemerkenswerte Vereinfachungen ; es ergibt sich – mit x reale Zahl- für f = cosh(log(x)) = (x + 1/x) / 2; und f = sinh(log(x) = (x – 1/x) / 2*i . Für sin(log(x)) , resultiert (x^i – x^-i) /2i ; im Falle von cos(log(x)) erhalten wir (x^i + x^-i) / 2 . Wird der Bereich auf komplexe Zahlen erweitert, so stellen wir für die Phasenportraits der Hauptwerte (pricipal value) zwar eine vollständige Übereinstimmung fest, allerdings ergeben die Differenzen z.B. cos(log(z)) – (z^i – z^-1) in Abb.: 16 keine Auslöschung ( 0 ) und sind somit evtl. nicht identisch.

Abb.: I- 1- 15a f = cosh(log(z)) ; f‘ = ( z + 1/z ) / 2 vgl. Lit(1) S.267;
Abb.: I- 1- 15b f = cosh(log(z)) ^i

Das Phasenpotrait beider Funktionen f und f‘ von Abb.15a zeigt keine Abweichungen und wir können die Phasenportraits als identische Bilder bezeichnen . Allerdings führt die Differenz f -f‘ wie auch im Falle von cos(log(z)) und sin(log(z)) nicht zur Auslöschung. Wird der Quotieng q = f / f‘ gebildet, resultiert ein Portrait mit dem einheitlichen Wert q =1 und legt Identität nahe. Auch für f = tan(log(z)) und f‘ = (z ^i – z ^-i) / (z ^i + z ^-i)* i und analg cot(logz)) beobachten wir identische Portraits ohne Auslöschung der Differenz f – f‘ aber ein Portrait mit dem Wert 1 für den Quotienten q = f / f ‚ .

  • Abb.: 16 f = cos(log(z)) – (z^i + z^-i)*0.5
  • Abb.: 16a f = wie Abb.: 16 , senkrecht : imaginär z Anteil