I – 1 Einfache Formeln und Bilder

Die folgenden Bilder sind teilweise im Internet(Wipikedia) oder in Lit(1) od. Lit(4) so oder in ähnlicher Form bereits  gezeigt worden. Sie werden zur schnellen Verfügbarkeit hier wiederholt.                                                 

Abb.: I-1-1 a,b,c      f = z ^12*i         f = z ^(2 +12*i)         f = z ^(2/3  + 9*i)

                           Kreise                 Spirale                         Offene Strukturexp1overz-e1537773238695.png

Abb.: I-1-2         f = exp( 1/z ) = e^( 1/z ) , 90° gedreht

Abb.: I- 1- 001 f = z ^ z
Abb.. I- 1- 002 f = ? vom Autor Lit(1) freundlicherweise zur Verfügung gestellt – eine Riemann Fortsetzung der Gesamtfläche.
Abb.: I- 1- 003 f = ? vom Autor Lit(1), zur Verfügung gestellt. Riemann Fläche , Fortsetzung, vgl. Bemerkung zu Abb.: I- 1-12/13
bild1-19
Abb.: I- 1- 3 _____ f = (z+phi^k) / (z-phi^k) , k=0:2, phi = exp(2pi*i/3) .
Abb.: I- 1- 4 _____ f = (z + 1) * ( z – 1) = z^2 – 1 s.Lit(1) S.196 ff
Abb.: I- 1- 5 _____ f = (z +1) / (z – 1) , k=0:0 s.Lit(1) S.196 f f
Abb.: I- 1 –6 _____ f = z ^9*i
Abb.: I- 1- 7 _____ f = z , Spezieller Farbkreis der Farben
Abb.: I- 1- 8 _____ f = z hoch i , k=0:0 . Darstellung mit Modulus- und Argument -Konturlinien Lit(1) S.320 .
Abb.: I- 1- 8a ___ f = z hoch i mit Modulus Konturlinien, ‚3D perspektivisch‘
Abb.: I- 1- 9a,b,c,d ___ f = z^i Im Zentrum 3D-Pespektive von Bild 1-10 . Bei r = 1 springt die Funktion von +pi nach -pi . In diesem Farbkreis ist + pi und – pi nicht klar zu unterscheiden.
Abb.: I- 1- 9 ___ z hoch i 2D -Darstellung
f = z ^i Innerhalb der ‚Röhre‘ eine weitere.
Abb.: I- 1- 9e ___ f = z ^i Vergrößerung um ca 1:10 . Die Unterscjiede von Abb.: ..8a und 9 liegt unseres Erachtens darin begründet, dass einmal ein 2*atan/pi -Wert wie in Lit(1) und zum anderen der Winkel (angle(f) wie hier abgebildet verwendet wird.
Abb.: I- 1- 10 _____ f = log(z ^5)
Abb.: I- 1 – 10a _____ f = (log(z ^5) ^i
  • Abb.: I- 1- 11 ___ f = log(z)
  • Abb.: I- 1 – 11a ___ f = log(z) ^i
  • Abb.: I- 1 – 12 ___ f = cos(z)
  • Abb.: I- 1 – 12a ___ f = cos(z) ^i

Das Potenzieren mit i führt auch in Abb…10 zu einer einheitlichen Farbgebung. Die abrupten Farbübergänge halten wir für die Grenzen der Rieman Flächen (Lit(1) Riemann Surfaces S.311 , siehe auch Wipikedia ‚Logarithmus‘). Am Beispiel der Funktion f = log(cos (z)) zeigt sich, wie die Gesamtfläche durch Zusammenfügen an den Schnittflächen erzeugt bzw. fortgesetzt wird.

Hinweis: Das Integral von tan(x) bzw. tanh ist ln(abs(cos(x) bzw. ..cosh +C x : reale Zahl.

Abb.: I- 1- 13 f = log(cos(z)) ^ i
Abb.: I- 1- 14 f = log(cos(z))
  • f = log(cos(z)) – 2pi* i
  • f = log(cos(z)) + 2*pi * i
Abb.: I- 1- 14a f = log(cos(z)) – 2pi* i
Abb.: I- 1- 14b f = log(cos(z)) + 2*pi * i
  • Abb.: I- 3- 15 a/b f = cos(log(z))
  • f = cos(log(z)) ^i

Nach Umformung erhält man für einige dieser kombinierten Funktion bemerkenswerte Vereinfachungen ; es ergibt sich – mit x reale Zahl- für f = cosh(log(x)) = (x + 1/x) / 2; und f = sinh(log(x) = (x – 1/x) / 2*i . Für sin(log(x)) , resultiert (x^i – x^-i) /2i ; im Falle von cos(log(x)) erhalten wir (x^i + x^-i) / 2 . Wird der Bereich auf komplexe Zahlen erweitert, so stellen wir für die Phasenportraits der Hauptwerte (pricipal value) zwar eine vollständige Übereinstimmung fest, allerdings ergeben die Differenzen z.B. cos(log(z)) – (z^i – z^-1) in Abb.: 16 keine Auslöschung ( 0 ) und sind somit evtl. nicht identisch.

Abb.: I- 1- 15a f = cosh(log(z)) ; f‘ = ( z + 1/z ) / 2 vgl. Lit(1) S.267;
Abb.: I- 1- 15b f = cosh(log(z)) ^i

Das Phasenpotrait beider Funktionen f und f‘ von Abb.15a zeigt keine Abweichungen und wir können die Phasenportraits als identische Bilder bezeichnen . Allerdings führt die Differenz f -f‘ wie auch im Falle von cos(log(z)) und sin(log(z)) nicht zur Auslöschung. Wird der Quotieng q = f / f‘ gebildet, resultiert ein Portrait mit dem einheitlichen Wert q =1 und legt Identität nahe. Auch für f = tan(log(z)) und f‘ = (z ^i – z ^-i) / (z ^i + z ^-i)* i und analg cot(logz)) beobachten wir identische Portraits ohne Auslöschung der Differenz f – f‘ aber ein Portrait mit dem Wert 1 für den Quotienten q = f / f ‚ .

  • Abb.: 16 f = cos(log(z)) – (z^i + z^-i)*0.5
  • Abb.: 16a f = wie Abb.: 16 , senkrecht : imaginär z Anteil