I – 1 Einfache Formeln und Bilder

Die folgenden Bilder sind teilweise im Internet oder in Lit(1) so oder in ähnlicher Form bereits  gezeigt worden. Sie werden zur schnellen Verfügbarkeit hier wiederholt.                                                 

f = z ^12* i
f = z ^( 2 + 12*i )
f = z ^(2/3 + 9*i)

Abb.: I-1-1 a,b,c      f = z ^12*i         f = z ^(2 +12*i)         f = z ^(2/3  + 9*i)

                           Kreise                 Spirale                         Offene Strukturexp1overz-e1537773238695.png

Abb.: I-1-2         f = exp( 1/z ) = e^( 1/z ) , 90° gedreht

bild1-19
Abb.: I-1- 3 _____ f = (z+phi^k) / (z-phi^k) , k=0:2, phi = exp(2pi*i/3) .
Abb.: I-1- 4 _____ f = (z + 1) * ( z – 1) = z^2 – 1 s.Lit(1) S.196 ff
Abb.: I-1- 5 _____ f = (z +1) / (z – 1) , k=0:0 s.Lit(1) S196ff
Abb.: I-1 –6 _____ f = z ^9*i
Abb.: I-1- 7 _____ f = z , Spezieller Farbkreis der Farben
Abb.: I-1- 8 _____ f = z hoch i , k=0:0 . Darstellung mit Modulus- und Argument -Konturlinien Lit(1) S.320 .
Abb.: I-1- 8a ___ f = z hoch i mit Modulus Konturlinien, ‚3D perspektivisch‘
Abb.: I-1- 9a,b,c,d ___ f = z^i Im Zentrum 3D-Rotation von Bild 1-10 . Bei r = 1 springt die Funktion von +pi nach -pi . In diesem Farbkreis ist + pi und – pi nicht klar zu unterscheiden.
Abb.: I-1- 9 ___ z hoch i 2D -Darstellung
f = z ^i Innerhalb der ‚Röhre‘ eine weitere.
Abb.: I-1- 9e ___ f = z ^i Vergrößerung um ca 1:10 . Die Unterscjiede von Abb.: ..8a und 9 liegt unseres Erachtens darin begründet, dass einmal ein 2*atan/pi -Wert wie in Lit(1) und zum anderen der Winkel (angle(f) wie hier abgebildet verwendet wird.
Abb.: I-1-10 _____ f = log(z ^5)
Abb.: I-1 – 10a _____ f = (log(z ^5) ^i
  • Abb.: I- 1 – 11 ___ f = log(z)
  • Abb.: I- 1 – 11a ___ f = log(z) ^i
  • Abb.: I- 1 – 12 ___ f = cos(z)
  • Abb.: I- 1 – 12a ___ f = cos(z) ^i

Das Potenzieren mit i führt auch in Abb…10 zu einer einheitlichen Farbgebung. Die abrupten Farbübergänge halten wir für die Grenzen der Rieman Flächen (Lit(1) Riemann Surfaces S.311 , siehe auch Wipikedia ‚Logarithmus‘). Am Beispiel der Funktion f = log(cos (z)) zeigt sich, wie sich die Gesamtfläche durch Zusammenfügen an den Schnittflächen erzeugen bzw. fortsetzen läßt. Hinweis: Das Integral von tan(x) bzw. tanh ist ln(abs(cos(x) bzw. ..cosh +C x : reale Zahl.

Abb.: I-1- 13 f = log(cos(z)) ^ i
Abb.: I- 1- 14 f = log(cos(z))
  • f = log(cos(z)) – 2pi* i
  • f = log(cos(z)) + 2*pi * i
Abb.: I- 1- 14a f = log(cos(z)) – 2pi* i
Abb.: I-1- 14b f = log(cos(z)) + 2*pi * i
  • Abb.: I- 3- 15 a/b f = cos(log(z))
  • f = cos(log(z)) ^i

Nach Umformung erhält man für diese kombinierten Funktion bemerkenswerte Vereinfachungen cosh(log(z)) = ( z – 1/z ) / 2 ; es ergibt sich für f = cos(log(z)) = ( z ^i – 1/ z ^i ) / 2 . coth(log(z)) = ( z ^2 + 1 ) / (z ^2 – 1) .