I – 3 Funktionen y= f(x), x = reale Zahlen – Functions of Real Numbers-

Do functions exist which are optically attractive or at least interesting and which follow the own perspective to „show attractive pictures and structures without touching math aspects“ ? Such a question of course is totally subjective. But nevertheless this page is devoted to it and every reader will have its own answer.

We do present here a series of functions in different projections and forms of viewing. Some functions will contain imaginary parts to be shown in the z- axis.

Gibt es überhaupt ästhetische, bzw. optisch ansprechende oder wenigstens interessante Abbildungen von Funktionen, die dem eigenen Anspruch der Einleitung genügen, nämlich ‚Bilder unter ästhetischen Gesichtspunkten zu zeigen, ohne mathematische Problems zu berühren‘ ? Sicherlich ist diese Frage extrem subjektiv, doch ihr soll diese Seite gewidmet werden und jeder Betrachter hat sicherlich seine eigene Antwort.

Wir präsentieren eine Reihe von verschiedenartigen Funktionen, perspektivisch und ihren Projektionen. Z.T. beinhalten diese Funktionen imaginare Anteile, die in perspektivischen Ansichten die drei Dimensionen x,y und z zeigen.

Fig.: I- 3- 1 _____ f(x) = x ^(1/x^4) ^i , 90-0 (zy-Projektion)

Die Explosion – The Explosion

Fig.: I- 3- 1a und 1b perspektivisch und xy- Projektion. Die z-Achse ist senkrecht dargestellt, sie zeigt den imaginären Anteil der Funktion; die x-Achse 3 bis -6 und die y-Achse -15 bis 25 reale Zahlen. Das Liniengewirr dieser Explosion wird freilich zum großen Teil dadurch erzeugt, dass die Funktion zahlreiche Sprungstellen aufweist, die von Plot-Programm gradlinig verbunden werden. Die zugehörige Bild-Darstellung der Funktion ohne Potenzierung mit i in Abb.: 2 erscheint wesentlich übersichtlicher.

Fig.: I- 3- 2 _____ f(x) = x ^(1/x ^4) , perspektivisch .

Spirale-1 – Spiral -1
  • f(x) = x ^(1/x ^4), yz-Projektion
  • f(x) = x ^(1/x ^4), xy-Proj.
Fig.: I- 3- 3 _____ f(x) = sin(exp(x)) , xy-Projektion

Rasende Schwingung – Fast Oszillation
  • Fig.: I-3 – 4 f(x) = sin(tan((x ^4 +1) / (x ^8 -1)) vgl. I-5 – 16
  • Fig.: I-3 – 5 f(x) = sin(tan(x^-3)
Fig.: I- 3- 6 _____ f(x) = sin(x) ^exp(x) , 4.2<x>5.2

Der Kreisel – Rotation
  • f(x) = sin(x) ^exp(x), xy-Projektion
  • f(x) = sin(x) ^exp(x) , -8<x>4 ,
Fig.: I- 3- 7 _____ f(x) = sin(x) ^exp(x) ^i .

Stacheldraht Typ-1 – Barbed Wire
Fig.: I- 3- 8 _____ f(x) = sin(x) ^log(x) , x>0 .

Eine stachelige Drehung
  • Fig.: I-3 – 8a yz-Projektion, x>0
  • Fig.: I-3 – 8b xy-Projektion , x>0 .
Fig.: I- 3- 8c _____ f(x)= sin(x) ^log(x) , x<0
x<0, xz-Projektion
x<0, xy-Projektion
f(x) = sinx ^log(x) , x<0, yz-Projektion

Die perfekte Welle – The Perfect Wave of Nazare (Potugal)
Fig.: I- 3- 9 _____ f(x) = cos(log(x^-11 – 1)) , perspektivisch

Rotation mit Unterbrechung – Interrupted Rotation
Fig.: I- 3- 9a _____ f(x) = cos(log(x ^-11 – 1))) , xy-Projektion
Fig.: I- 3- 10 _____ f(x) = log(cos(x)) ^i , ohne Titel-1
f(x) = log(cos(x)) ^i , xz-Projkt.
Fig.: I- 3- 11 _____ f(x) = exp(cos(x) ^i = ( e ^cos(x)) ^i

Ohne Titel-2 – Without Title-2
Fig.: I- 3- 12 _______ f(x) = x ^sin(x)

Biegungen – Curves
  • f(x) = x ^sin(x), yz-Projektion
  • f(x) = x ^sin(x) , xy-Projkt.
  • f(x) = x ^sin(x) , xz-Projkt.
Fig.: I- 3- 13 _____ f(x) = exp(x) ^(log(1/x)) ^2 , y,z -Bereich dieses Kreisels liegt bei 10^20 =100.000.000.000.000.000.000 !

Der große Kreisel – A perpendicular great Toy Gyro – a Rotator
  • Fig.: 13a xy Projektion
Fig.: I- 3- 14 ______ f(x) = sin(x) ^ ((sin(x)) * x ^ 2)

Dieser waagerechte Kinderkreisel hat wahrhaft gigantische Dimensionen – This perpendicular Toy Gyro truly has gigantic dimensions 10 ^ 74 .
Fig.: I- 3 – 15 ______ y = cos(x) ^ cos(x) ^(0.1*log(x))
  • Fig.: I – 3 – 15 y = cos(x) ^ x , x >0 .
  • Fig.: I – 3 – 16 y = (x * sin(x) ) ^ x , x>;0 .

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Video I- 3- 17 shows the function f =cos(x) ^ x ,

A function in form of a ‚STAIRS‘

f(x) = Σ (sin( k1*k2*x)) / k1, k1=1 to 2000 , k2=2 . A Fourier series, inspired by http://www.Mathe-Kalender 2019, Mai ; Prof. E.Wegert, G.Semmler TU-Freiberg and Pamela Gorkin and U.Daepp Univers. Lewisburg, there cited Hakon Grönwall ( Math. Annalen 1912 p.228 ) , Lit(4). (Gibbssches Phänomen) Many other Fourier Series were presented in ‚Fun with Fourier Series‘ by Robert Baillie , Math. CA

Fig . I- 1- 18:
Fig. I- 3- 18a: dito . The gray area up to 6 digits exactly counts F = 2*pi*pi .
Fig. I- 3- 19 y = (cos(2*x)) * (sin(2*x)) ^ (sin(x) * cos(x))

  • Fig. 5- 3- 20 y = cos(0.5x) * sin(0.5x) ^ (sin(x) * cos(x))
  • Fig. 5- 3- 21 y =cos(2x) * sin(x) ^ (sin(x) * (cos(x))
we like to follow the ending lines.
Fig.: 22 f = (cos(x) * cos(2x)) ^ ((sin(x)*cos(2x)*cos(3x)*cos(4x))
Fig.: 23 – f = (cos(2x) * cos((3x)) ^((sin(x) * cos(2x) * cos(3x) * cos(4x))
  • I- 3- 24 f = (exp(x)) ^ i .
  • I- 3- 25 f(y) = cos(x) * cos(x) *(exp(x)) ^ i .
  • Fig.: 26 f = 0.5 *sin(2x) * (exp(x)) ^ i .
  • Fig.: 27 f = cos(6x) * cos(6x) * (exp(x)) ^ i .