I – 6 Spezial Themen -Special Themes–we are working on it

5- 7- 1- Zetafunktion

https://complex-pictures.com/i-5-potenzieren-mit-wurzel-1-i/Wer sich mit komplexen Zahlen beschäftigt, kommt an Bernhard Riemann (1826-1866) und seinen Arbeiten zu der Zeta-Funktion nicht vorbei. Beginnen wir mit einem Phasen-Portrait der Zeta-Funktion (vgl. Lit(1) S.202 u.,214 ; und Lit(4) Tobias Kietreiber,“Riemann’sche Zetafunktion“ ) und der Frage, ob das Potenzieren mit i eine übersichtliche Darstellung der trivialen und nichttrivialen Nullstellen erlaubt. Unsere Meinung nach stellen die ‚blauen‘ Punkte Nullstellen dar.

Abb.: 1 f(x) =(Summe 1/(n^z) ) ^ i , n=1bis 4000,

Selbst bei der Summe bis 4000 in Abb.: 1 ergibt sich nur eine sehr unvollkommene Annäherung an die Funktion (Lit(1) S.215) . Nullstellen um 14,2 , 21,1, 24,9, 30,3 , 33,1 und 37,7 mit x ca. 0.65 deuten sich zwar deutlich an, sie sind allerdings numerisch unzuverlässig und es gibt zahlreiche Falschsignale. Die Funktionsberechnungen der folgenden Phasenpotraits wurden mit Matlab (R) vorgenommen; auch andere Programmsysteme z.B. Wolfram Alpha, berechnen die zeta-Funktion. Für 40.000 Berechnungen der Funktion wird die Computer-Belastung erheblich.

Abb. 2 Zeta f = zeta(200*200 Matrix)
Abb.: 3 (Zeta 200*200 Matrix) ^ i ,
zeta (200*90 Pixel) Bereich: triviale Nullstellen
wie rechts, potenziert mit i Bereich: triviale Nullstellen
Versuch Nr 2 Zeta(80*440), 35.200 Einzelwerte
Versuch Nr 2a 35200 Einzelwerte, Bereich wie vorher, f(z) ^ i .
zeta Nullstellen von 0 bis 30
Zeta Nullstellen 30 bis 80

Zeta Nullstellen 0 bis 30*i , x von 0.1 bis0,9