I – 4 Bildgestaltung – von Strukturvielfalt zum Chaos ?

Während ein Maler seine Ideen zu Bildern mit gewählter Farbe und eigener Vorstellung gestalten kann, bleibt diese freie Technik bei dem Entwurf und der Gestaltung von Form und Farbe mit komplexen Zahlen weitgehend versagt. Man ist vielmehr zumeist dem Prinzip  -Versuch und Irrtum – ‚trial and error‘ verhaftet. Dennoch lassen sich bei einer größerer Anzahl von berechneten Phasenportaits Gemeinsamkeiten und Prizipien erkennen. Als besonders vielfältig und nützlich für die Bild Gestaltung hat sich für den Autor hier die allgemeine Form einer komplexen Funktion

Funktion-1 (  (a + b) / , * oder +sowie ^ Funktion-2 ( c – d)  )

erwiesen,  dabei wird zumeist b=d gewählt  und b als eine Funktion des Anteil eines Kreises  b = f ( 2Pi*i/n) . Als Funktion-1/2 sind exp, sin, cos, tan, cot, od. log auch vereinzelt sinh, cosh… sowie eine Wiederholungsschleife n innerhalb und außerhalb von b  in Gebrauch. Zudem kann eine solche Rechenvorschrift auch mehrfach angewendet werden (Iteration) . Damit ergibt sich eine nahezu endlose Variationsmöglichkeit (Lit(1) S.345).

Beispiel für Iteration:

f = cos(1/z) zweimal angewendet  bedeutet : g = cos( 1/(cos( 1/z) )

Lineare Strukturen

Biild 3-13exp-1cot1log11k4
Abb.: I-4 – 1  _____  f = exp((z ^-1 + phi ^k) / cot(z – phi ^k)) , phi =log(2pi*i/11) , k=0:4

 

bild 2-1
Abb.: I-4 – 2  _____  f = z ^tan(z))

 

expcycsin-1
Abb.: I-4 – 3  _____  f = exp((z + phi^k) / sin(z – phi^k)) , pho=exp(2pi*i/5) , k=0:4

 

bild100hochi (2)
Abb.: 4 – 4 _____  f = ((z + phi^k) / (z – phi^k)) ^i , phi=log(2pi*i/5) , k=0:4

 

standardk33cosom11
Abb.: I-4 – 5   _____  f = exp((z +phi^k) / (z – phi^k)) , phi=(cos(2pi*i/11) , k=0:33

Die Strukturvielfalt

ccc-4
Abb.: I-4 – 6  _____   f = exp((z + phi^k) / (z – phi^k)) , phi=exp(2pi*i/3+k) , k=0:7  Hier wurde phi innerhalb eine Schleife mit der Laufzahl k eingebaut                                                                                                                                                                                                                                       Die Strukturquelle

 

Buch-6-12
Abb.: I-4 – 7   _____  f = exp((z ^-1+ phi) / (1/z ^k – phi^k)) , phi=log(2pi*i/9) , k=0:19                                                                                                                                               Elliptisch

Selbst Spiralen lassen sich planmäßig konstruieren. Hier wird eine mit 12 Struktur Elementen gezeigt, sie hat “ zwei Spiralarme“ .

bild-1-17
Abb.: I-4 -8  _____  f = exp( z ^2 + phi ^^k) / (z ^4 – phi^k)), phi=log(2pi*i/12), 12                                                                                                                                                                                                            Eine Spiralgalaxie    

 

bild-1-12
Abb.: I-4 -9  _____  f = sin((z ^3 + phi^k) / (tan(z ^-4 – phi ^k)) , phi=cot(2pi*i/9) , k=0:12                                                                                                                                                                                         Das grüne Kleeblatt

 

Biild 3-133xp4cot-4log11k4a
Abb.: I-4 -10 _____  f = cot(z ^3 + phi^k) / cot(z ^-4 – phi^k)) , phi=log(2pi*i/11 , k=0:4                                                                                                                                                                                          Das blaue Kleeblatt

 

Buch-6-19 B-II-24
Abb.: I-4 – 11   _____  f = exp((z ^-2 + phi^k) * sin( z ^-2 – phi^k)) -0.7*i , phi=exp(2pi*i/8) , k=0:3                                                                                                                                                                Fächer auf Blau  

 

Buch-6-Bild-II-43
Abb.: I-4 – 12   _____   f = cos(tan((z ^-2 + phi^k) / (z ^3 -phi^k))) +0.3i , phi=exp(2pi*i/5) , k=0:4   Ein Spiraltunnel

 

Buch-6-Bild-II-44
Abb.: I-4 – 13   _____   f = cos(tan((z ^2 + phi^k) / (z ^-3 -phi^k))) +0.3i ,          phi und k wie vorher                                                                                                                                                                       Strahlendes Fünfeck

 

buch-6-bild-II-40
Abb.: I-4 – 14   _____   f = exp(( z ^-2 + phi^k) + (z ^-2 – phi^k)) , phi=exp(2pi*i/7) , k=0:6 , 2- fache Anwendung                                                                                                                                                               Wachstum

 

Buch-6-18
Abb.: I-4 -15  _____  f =exp((z ^-2 + phi^k) / (z ^-1 -phi^k)) , phi=exp(2pi*1/3) , k=0:2, 2fache Anwendung .                                                                                                                                                         Komplexes Wachstum

 

Buch-6-Bild-II-31
Abb.: I-4 -16  _____   f =exp( z ^sin(z ^-3 + phi^k)) , phi=exp(2pi*i/5) , k=0:4 , 2-fache Anwendung          Ohne Titel

 

Buch-6-14
Abb.: I-4 – 17  _____   f = tan (z ^(1/z)) , k=0:4                                                                                                                                                  Chaos-1

Die sehr einfache Funktion  f = tan(z ^(1/z)) , mit der Wiederholungsschleife  k =0:6 , zweimal angewendet, führt zu einer gewaltigen Komplexität .

Buch-6-15
Abb.: I-4 – 18  _____  f = tan( z ^(1/z)) , k=0:6 , 2 Iterationen , 4000*4000 Pixel

 

Buch-6-16
Abb.: I-4 -19  _____  f = tan( z ^(1/z)) , k=0:6 , ca. 4-fache Vergrößerung

 

Buch-6-17
Abb.: I-4 – 20  _____   f = tan(z ^(1/z)) , k=0:6 , zweifache Anwendung ; 4000*4000 -Pixel , Vergrößerung  ca.1:10

 

Buch-6-Bild-62b
Abb.: I-4 – 21  _____  f = exp((z ^-1 + phi^k) / tan(z ^-3 -phi^)) , phi=log(2pi*i/7) , k=0:3 , 2fache Anwendung .                                                                                                                                                                                                                 Komplex oder schon chaotisch

 

Buch-6-Bild-62c
Abb.: I-4 – 22  _____   f = wie vorher , Teilbereich .           Komplex oder schon chaotisch

zurück

Nachtrag Teilbereich Abb.: I-4-14
Abb.: I-4-23 _____ f = sin((1/(z ^2 + phi ^k)) + exp(1/(z ^2  – phi^k))) -i,  2fache Anwendung , phi=exp(2pii/5), k=0:4 .

Galaktisches Chaos  (mit C2 -Drehachse)