I – 4 Bildgestaltung – von Strukturvielfalt zum Chaos ?

Während ein Maler seine Ideen zu Bildern mit gewählter Farbe und eigener Vorstellung gestalten kann, bleibt diese freie Technik bei dem Entwurf und der Gestaltung von Form und Farbe mit komplexen Zahlen weitgehend versagt. Man ist vielmehr zumeist dem Prinzip  -Versuch und Irrtum – ‚trial and error‘ verhaftet. Dennoch lassen sich bei einer größerer Anzahl von berechneten Phasenportaits Gemeinsamkeiten und Prizipien erkennen. Als besonders vielfältig und nützlich für die Bild Gestaltung hat sich für den Autor hier die allgemeine Form einer komplexen Funktion

Funktion-1 (  (a + b) / , * oder +sowie ^ Funktion-2 ( c – d)  )

erwiesen,  dabei wird zumeist b=d gewählt  und b als eine Funktion des Anteil eines Kreises  b = f ( 2Pi*i/n) . Als Funktion-1/2 sind exp, sin, cos, tan, cot, od. log auch vereinzelt sinh, cosh… sowie eine Wiederholungsschleife n innerhalb und außerhalb von b  in Gebrauch. Zudem kann eine solche Rechenvorschrift auch mehrfach angewendet werden (Iteration) . Damit ergibt sich eine nahezu endlose Variationsmöglichkeit (Lit(1) S.345).

Beispiel für Iteration:

f = cos(1/z) zweimal angewendet  bedeutet : g = cos( 1/(cos( 1/z) )

Lineare Strukturen

Biild 3-13exp-1cot1log11k4
Abb.: I-4 – 1    f = exp((z ^-1 + phi ^k) / cot(z – phi ^k)) , phi =log(2pi*i/11) , k=0:4
bild 2-1
Abb.: I-4 – 2    f = z ^tan(z))
expcycsin-1
Abb.: I-4 – 3    f = exp((z + phi^k) / sin(z – phi^k)) , pho=exp(2pi*i/5) , k=0:4
bild100hochi (2)
Abb.: 4 – 4 f = ((z + phi^k) / (z – phi^k)) ^i , phi=log(2pi*i/5) , k=0:4
standardk33cosom11
Abb.: I-4 – 5     f = exp((z +phi^k) / (z – phi^k)) , phi=(cos(2pi*i/11) , k=0:33

Die Strukturvielfalt

ccc-4
Abb.: I-4 – 6     f = exp((z + phi^k) / (z – phi^k)) , phi=exp(2pi*i/3+k) , k=0:7  Hier wurde phi innerhalb eine Schleife mit der Laufzahl k eingebaut                              Die Strukturquelle
Buch-6-12
Abb.: I-4 – 7    f = exp((z ^-1+ phi) / (1/z ^k – phi^k)) , phi=log(2pi*i/9) , k=0:19   Elliptisch

Selbst Spiralen lassen sich planmäßig konstruieren. Hier wird eine mit 12 Struktur Elementen gezeigt, sie hat “ zwei Spiralarme“ .

bild-1-17
Abb.: I-4 -8     f = exp( z ^2 + phi ^^k) / (z ^4 – phi^k)) , phi=log(2pi*i/12) , 0:12                          Eine Spiralgalaxie    
bild-1-12
Abb.: I-4 -9    f = sin((z ^3 + phi^k) / (tan(z ^-4 – phi ^k)) , phi=cot(2pi*i/9) , k=0:12                                Das grüne Kleeblatt
Biild 3-133xp4cot-4log11k4a
Abb.: I-4 -10   f = cot(z ^3 + phi^k) / cot(z ^-4 – phi^k)) , phi=log(2pi*i/11 , k=0:4    Das blaue Kleeblatt
Buch-6-19 B-II-24
Abb.: I-4 – 11     f = exp((z ^-2 + phi^k) * sin( z ^-2 – phi^k)) -0.7*i , phi=exp(2pi*i/8) , k=0:3  Fächer auf Blau    ,
Buch-6-Bild-II-43
Abb.: I-4 – 12     f = cos(tan((z ^-2 + phi^k) / (z ^3 -phi^k))) +0.3i , phi=exp(2pi*i/5) , k=0:4   Ein Spiraltunnel
Buch-6-Bild-II-44
Abb.: I-4 – 13      f = cos(tan((z ^2 + phi^k) / (z ^-3 -phi^k))) +0.3i ,          phi und k wie vorher     Strahlendes Fünfeck
buch-6-bild-II-40
Abb.: I-4 – 14      f = exp(( z ^-2 + phi^k) + (z ^-2 – phi^k)) , phi=exp(2pi*i/7) , k=0:6 , 2- fache Anwendung   Wachstum
Buch-6-18
Abb.: I-4 -15    f =exp((z ^-2 + phi^k) / (z ^-1 -phi^k)) , phi=exp(2pi*1/3) , k=0:2, 2fache Anwendung .   Komplexes Wachstum
Buch-6-Bild-II-31
Abb.: I-4 -16     f =exp( z ^sin(z ^-3 + phi^k)) , phi=exp(2pi*i/5) , k=0:4 , 2-fache Anwendung          Ohne Titel
Buch-6-14
Abb.: I-4 – 17       f = tan (z ^(1/z)) , k=0:4                   Chaos-1

Die sehr einfache Funktion  f = tan(z ^(1/z)) , mit der Wiederholungsschleife  k =0:6 , zweimal angewendet, führt zu einer gewaltigen Komplexität .

Buch-6-15
Abb.: I-4 – 18    f = tan( z ^(1/z)) , k=0:6 , 2 Iterationen , 4000*4000 Pixel
Buch-6-16
Abb.: I-4 -19   f = tan( z ^(1/z)) , k=0:6 , ca. 4-fache Vergrößerung
Buch-6-17
Abb.: I-4 – 20     f = tan(z ^(1/z)) , k=0:6 , zweifache Anwendung ; 4000*4000 -Pixel , Vergrößerung  ca.1:10
Buch-6-Bild-62b
Abb.: I-4 – 21    f = exp((z ^-1 + phi^k) / tan(z ^-3 -phi^)) , phi=log(2pi*i/7) , k=0:3 , 2fache Anwendung .      Komplex oder schon chaotisch
Buch-6-Bild-62c
Abb.: I-4 – 22     f = wie vorher , Teilbereich .           Komplex oder schon chaotisch

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Nachtrag Teilbereich Abb.: I-4-14
Abb.: I-4-23 f = sin((1/(z ^2 + phi ^k)) + exp(1/(z ^2  – phi ^k))) -i,  2fache Anwendung , phi=exp(2pii/5), k=0:4 .

Galaktisches Chaos  (mit C2 -Drehachse)