I – 5 Potenzieren mit Wurzel -1 ( i )

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Das Potenzieren von Zahlen ist nicht nur mit realen Zahlen möglich (z.B. 2 hoch 3 =8) , sondern es ist auch für komplexe Zahlen z = a + b*i definiert. Die  Moivrische Formel erlaubt diesen Rechenvorgang  in der polaren Koordinaten Darstellung  z ^x = r^x *(cos(x*phi) + i*sin(x*phi) , wobei  r der Abstand zum Koordinaten Ursprung und phi der Winkel zur x-Aachse darstellt. Die Rechenprogramme Octave(R) und MATLAB(R) ermöglichen solche Berechnungen .

Die sehr einfache Funktion  f = x^i  hat ihre Definition  und ist equivalent mit          y = e ^(i * log(x)),    log ist der Logarithmus zur Basis e . Für die grafische Darstellungen wird positives x und negatives getrennt verwendet, Wenigstens für den Autor ergeben sich unerwartete Ergebnisse.

xhochi-a
Abb.:  a,b,c      f = x hoch i   -3D-Darstellung x größer 0

Die Abb. zeigt uns in der Projektion , dass sämtliche y-Werte auf  einer ‚Röhre‘,  mit dem Radius  r = 1 liegen. Abweichungen nahe dem 0-Punkt resultieren aus numerischen Ursachen. Mathematiker wissen natürlich , dass bei x = 23,1407 , (log(x) = pi )  die ‚Eulersche Identität‘  gegeben ist; für y resultiert 1.

                                 1 = e ^(i*pi)

Andere prominente Werte für x sind 111,32  sowie 335,4917 (y=-i) und 2567,8 (y=i) usw.

Wenn wir negative Werte für x einsetzen und die Projektion der Werte beobachten, so ergibt sich, dass alle y- Werte auf einer ‚Röhre‘ mit dem Radius 0,0432 = e ^-pi  liegen. Die prominenten x-Werte sind auch hier gegeben.

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f = x hoch i yz-Projektion x kleiner 0
y = x ^i , x kleiner 0

Die Auswirkung des Potenzierens mit – i – auf komplexe Funktionen sei am
Beispiel der folgenden analytischen Funktion demonstriert.

f = z^-3 – z ^2 – z ^-1 rechts nach Potenzierung mit i . Aus dem Zusammenlaufen der Farben, die eine Nullstelle anzeiget, wird ein Punkt bzw. Kreis bei mehrfacher Wiederholungs-schleife, hier k=0 bis 3 .
f = z^-3 – z^2 – z^-1
f=( z^-3 – z^2 – z^-1 )^ î , Wiederholungsschleife k = 3

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